セカイ内存在証明

それは多分、単なる思い付き

i^iを解きなさい

数学

概要


【高音質】いきなりあなたに恋している - iを解きなさい 【Full】 - YouTube

さすがにiは解けないけど、i^iだったら解ける。

あらすじ

  1. i って何だっけ？
  2. オイラーの公式
  3. i^i の解き方

本編

1. iって何だっけ？

にこれは分かってると思いますが‥‥、

{ \displaystyle i = \sqrt{-1} }

です。よーするに自乗すると-1になる数のことですね。「虚数」なんていう風に世間では呼ばれています。

で、このiのi乗を求めたいわけです。この記事では。わけがわからないぜ。

2. オイラーの公式

世界で一番美しいと呼ばれる数式があります。「オイラーの等式」という奴です。

{ \displaystyle 1 + e^{i\pi} = 0 }

この数式はe,\pi,0,1という数学の中でも基本的な定数や数値のみで構成されているために美しいと呼ばれるのですが、そんなことはさておきこの式がどこから表れたのか気になりませんか？

気になりますよね？？

この等式は、実は以下に示す「オイラーの公式」のxに\piを代入した結果だったりします。

{ \displaystyle e^{ix} = cos(x) + i sin(x) }

そして、i^iを求めるのにもこの「オイラーの公式」が重要になってきます。

3. i^i の解き方

さて、「オイラーの公式」をよく見てみると、xに\frac{\pi}{2}を代入したら、

{ \displaystyle i = e^{i\frac{\pi}{2}} }

という式が導かれることに気付きませんか？（cos(\frac{\pi}{2}) = 0でsin(\frac{\pi}{2}) = 0なので）

それでは、この両辺をi乗すれば、i^iを求めることができるはずです。

{ \displaystyle i^i = (e^{i\frac{\pi}{2}})^i = e^{i \times i \frac{\pi}{2}} = e^{-\frac{\pi}{2}} }

というわけで、e^{-\frac{\pi}{2}}という式が表れました。これってeの実数乗だし、その結果も実数になるんじゃ‥‥。

この値を計算すると、大体、

{ \displaystyle i^i = 0.2078795 \cdots }

くらいになります。i^iは大して大きな値ではないようです。

すみません、嘘です。

本当のことをいうと「オイラーの公式」からiの等式を探すと、

{ \displaystyle i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 2\pi)} }

のときも、

{ \displaystyle i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 4\pi)} }

のときも、

{ \displaystyle i = e^{i(\frac{\pi}{2} - 6\pi)} }

のときも‥‥。つまり、全ての整数nについて

{ \displaystyle i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)} }

という式が成り立ち、これらをi乗した結果は、全てi^iの値となります。

簡単にまとめると、

「i^iは複数の値がある」

ということです。二次方程式の解が二つなように、i^iの値は整数の数だけ存在するのです。

（ただ、一般にi^iの値と言ったらさっきのn = 0のときの値のことが多いです）

結びに

最後で一気に分かりにくくなってすみません。

そもそもこの記事は「iを解きなさい」を聴いた衝動で書いたようなものです。紡かわいいよ、紡。

こんな記事に最後まで目を通して頂きありがとうございます。

（ところでタイトルのi^iって泣いてる人みたいに見えません？）